Page 11 - 203_

ЛЕКЦІЯ 1. Означення та властивості невизначеного інтеграла 11


F   t  F ([ t ()] t )  f     tt  ,

x
тобто функція f     tt  має на множині T первісну F   t
і, отже,
  f     dttt    F    Ct  .


Оскільки F    Ct   F   Cx    x  f  dxx , то
x 
x   t
одержимо формулу (1.1). □
Формула (1.1) називається формулою заміни змінної в
невизначеному інтегралі.
Приклад 4.
* 3
3
x x t1  t1  3 1 
 x1  2 dx dx dt   t 2 dt  t  3  t  2  dt

t 

1 2 1 1 2 1
 t 3 t ln3 t   C x1  3 x1  ln3 x1   C
2 t 2 x1
Зауваження. При заміні змінної в невизначеному
інтегралі інколи зручніше задавати не x як функцію t , а
навпаки, задавати t як функцію x .
Приклад 5.
xdx x 2 1  t 1 dt
 n    n 
x 2 1  2 xdx  dt 2 t
 1 1 1 1
  n (  )1  t n 1  C   n ( 2  )1  x ( 2  )1 n 1  C при n≠1,
 2
 
 1 ln t  C  1 ln( x 2  )1  C
 2 2 при n=1.


*
Тут вертикальними рисками відокремлені допоміжні записи.