Page 14 - 203_

14

u  dux, dx
2
2
 x sin x  xcos2 x 2  cos xdx x sin x 
dv sin xdx, v  cos x
 2 xcos x  sin2 x  C .
Інколи після дворазового застосування формули
інтегрування частинами, приходимо в правій частині до
виразу, який містить початковий інтеграл, тобто одержуємо
рівняння з шуканим інтегралом як невідомим.
Приклад 10.
ax
u  e , du  ae ax dx 1
ax
ax
 e sin bxdx  dv  sin bxdx, v   cos bx   e cos bx 
1
b
b
u  e ax ,du  ae ax dx
a ax 1 ax
  e cosbxdx  sin bx   e cosbx 
b dv  cos bxdx , v b
b
2
a ax a ax
 e sin bx   e sin bxdx ;
b 2 b 2
в результаті одержано рівняння відносно невідомого
ax

інтеграла e sin bxdx :
1 ax a ax a 2 ax
 e sin bxdx   b e cos bx  b 2 e sin bx  b 2  e sin bxdx .
ax
Звідси
e ax asin bx  bcos bx 
ax
 e sin bxdx  a  b 2  C .
2