Page 78 - 203_

Приклад 3.

1 x  sin t 2
dx 
 2  0  t     dt  2
0 1  x 2 0
Зауважимо, що не всі властивості визначеного
інтеграла переносяться на невласні інтеграли. Так,
наприклад, добуток двох функцій, інтегровних на деякому
відрізку, є функцією, також інтегровною на ньому. Аналог
цього твердження для невласних інтегралів не завжди
1
справедливий. Дійсно, нехай, наприклад, f ( x)  g  x  .
x
1 1 1
dx dx
Інтеграл  збігається, а інтеграл  f (x )g (x )dx  
0 x 0 0 x
розбігається.

*
8.3 Критерій Коші збіжності невласних інтегралів.
Абсолютно збіжні інтеграли.
Теорема 1. ( Критерій Коші збіжності інтеграла). Для
b

збіжності інтеграла f ( x) dx з єдиною особливістю в точці
a
b необхідно і достатньо щоб виконувалася умова Коші: для
будь-якого  існувало таке число    ( ) , a   b , що
якщо    b ,     b , то
 
 f ( x) dx   .

Доведення. Розглянемо функцію

*
Коші Огюстен Луї(1789-1857) – французький математик.

ЛЕКЦІЯ 8. Невласні інтеграли 79