Page 79 - 203_

x

F( x ) f t) ( dt (a  x  ) b
a
b

Збіжність інтеграла f t) ( dx рівносильна існуванню границі
a
lim F (x ) , що в свою чергу рівносильно виконанню умови
x b
Коші: для будь-якого  0 існує    ( ) , де a   b
таке, що виконується нерівність

 
F (   () F  ) 
для всіх  і   , які задовольняють нерівностям      b і
  

      b . Але F(  ) F(  )  f ( t) dt, і теорема доведена □
 
b
Означення 3. Невласний інтеграл  f ( x) dx , який має
a
особливість в точці b , називається абсолютно збіжним,
b

якщо збігається інтеграл | f ( x |) dx .
a
З теореми 1 безпосередньо випливає критерій
абсолютної збіжності інтеграла.
Теорема 2. ( Критерій Коші абсолютної збіжності
b
інтеграла). Для того, щоб інтеграл  f ( x) dx з єдиною
a
особливістю в точці b абсолютно збігався, необхідно і
достатньо, щоб для будь-якого  0 існувало таке    ( ) ,
що якщо    b і     b , то

80