Page 82 - 203_

b b
 f ( x) dx   g( x) dx ,

a a
а із розбіжності інтеграла (8.5) випливає розбіжність
інтеграла (8.6)
Доведення. Із (8.7) випливає, що для a   b
 
 f ( x) dx   g( x) dx . (8.8)

a a
Якщо інтеграл (8.6) збігається, то права частина (8.8)
обмежена числом, яке дорівнює інтегралу (8.6), але тоді
обмежена і ліва частина. І оскільки ліва частина при
зростанні  монотонно не спадає, то вона прямує до
границі
b  b
 f ( x) dx  lim  f ( x) dx  g( x) dx ,

b

a a a
Нехай тепер (8.5) розбігається.
Тоді, якщо припустити, що (8.6) збігається , то із-за
доведеного вище інтеграл (8.5) збігається, що суперечить
умові. Отже, інтеграл (8.6) також розбігається. □
Наслідок 1. Нехай інтеграли (8.5) і (8.6) мають єдину
особливість в точці b , підінтегральні функції додатні і існує
границя
f (x )
lim  A  0 (8.9)
x  g (x )
b
Тоді ці інтеграли одночасно збігаються або одночасно
розбігаються.
Доведення.
З (8.9) випливає, що для додатнього   A можна
вказати таке  [a ,b ) , що коли  x  b , то

ЛЕКЦІЯ 8. Невласні інтеграли 83