Page 69 - 203_

ЛЕКЦІЯ 7. Обчислення визначеного інтеграла 69

1) функція x  (t ) диференційовна на  ,  і
 (t  ) неперервна на  , ;
2) множиною значень функції x  (t ) є відрізок
a,  b ;
3)  ( )  a і ( )  b , то має місце рівність
b 
 f ( x) dx   f  t)(  (  t) dt
(7.3)
a 
Ця формула називається формулою заміни змінної у
визначеному інтегралі або формулою інтегрування
підстановкою.
Доведення.
Нехай F (x ) - будь-яка первісна для функції f (x ) на
a,  b . Тоді для точок t    , має зміст складна функція
F  (t  ) , яка є первісною для  (tf  )  (t ) . За формулою
Ньютона- Лейбніца (7.2)
b
 f (x )dx  F (b ) F (a ) ,

a

 (t 
 F
 f  (x ) )dt  F  (  )     F (b ) F (a ) .

З цих рівностей і випливає формула (7.3) □
Зауваження 1. Якщо при обчисленні невизначеного
інтеграла з допомогою заміни змінної від нової змінної
t потрібно повертатися до старої змінної x , то при
обчисленні визначеного інтеграла цього робити не потрібно,
оскільки тепер потрібно знайти число, яке за доведеною
теоремою дорівнює значенню кожного з інтегралів.