Page 65 - 203_

ЛЕКЦІЯ 7. Обчислення визначеного інтеграла 65
b n
 f ( x) dx  lim  f ( i  ) x .
i
 0
a i1
2

Приклад 1. Обчислити x 2 dx .
1
Розіб’ємо відрізок 1[ ] 2 , на частини так, щоб абсциси
точок розбиття утворювали геометричну прогресію:
x  , 1 x  q ,x  q 2 ,..., x  q n  1 , x  q n  2 ,
0 1 2 n  1 n
1
де q  2 n . Точку  виберемо на лівому кінці i го відрізка.
i
Тоді
f (x )  , 1 f (x )  q 2 , f (x )  q 4 , ... , f (x )  q ( 2 n ) 1 
0 1 2 n 1 
x  q  , 1 x  q 2  q  q ( q ), 1
1 2
x  q 2 ( q 1 ),...,x  q n 1  ( q ), 1
3 n
  1 ( q ) 1  q 3 ( q ) 1  q 6 ( q ) 1  ... q ( 3 n ) 1  ( q ) 1  ( q ) 1 
q 3n  1 q 3n  1
) 1 
( 3 n
3
6
 1 (  q  q  ... q )  ( q ) 1 3  2 
q  1 q  q  1
3
2  1 7
  .
2 1 2 1
n n n n
2  2  1 2  2  1

Отже
2
7 7
2
 x dx  n lim  2 1  3 .

n
n
1 2  2  1

7.2. Інтеграл із змінною верхньою межею.
Нехай функція (xf ) інтегровна на відрізку  ba, . Тоді
вона інтегровна і на будь-якому відрізку  xa, , де a  x  b ,