Page 66 - 203_

66
x
тобто для будь-якого x a,  b має зміст інтеграл  f t) ( dt .

a
Розглянемо функцію
x
 x)(   f t) ( dt

a
Ця функція  (x ) визначена на відрізку  ba,  і
називається інтегралом із змінною верхньою межею.
Теорема 1. Похідна інтеграла від неперервної функції
по змінній верхній межі існує і дорівнює значенню
підінтегральної функції в точці, що дорівнює верхній межі,
тобто

 x 

 (x )    f t ) ( dt  f (x ) (7.1)
 
a  
Доведення. Нехай x a,  b , x  x   ba,
Тоді
x  x x x  x

   x(  x)   x)(   f ( x) dt  f ( x) dt   f ( x) dt .
a a x
Використовуючи теорему про середнє, одержимо
  f ( c ) x ,
де число c – число, яке міститься між числами x і x  x .
Розділимо обидві частини рівності на x :

 f (c )
 x
Якщо x  0 , то c  x , і тоді , із-за неперервності
f (x ) на  ba, , f (c )  f (x ) . Тому переходячи до границі
при x  0 , в останній рівності, одержимо