Page 63 - 203_

ЛЕКЦІЯ 7. Обчислення визначеного інтеграла 63

Звідси, зауваживши, що
b n

dx  lim    1 x  b  a (6.7)
i
a  0 i1
отримуємо (6.6). □
0
7 . Якщо m і M - відповідно найменше і найбільше
значення функції (xf ) на відрізку ,[ ba ], то
b
m( b a)  f ( x) dx  M( b a) (6.8)

a
Доведення.
За умовою для будь-якого x [a ,b ] маємо
m  f (x ) M .
0
Застосовуючи властивість 5 до цих нерівностей, маємо
b b b
m  dx  f ( x) dx  M  dx,

a a a
звідки з врахуванням (6.7) одержимо нерівності (6.8). □
0
8 . Теорема 3 (теорема про середнє). Якщо функція
f (x ) неперервна на відрізку [a ,b ], то на цьому відрізку
існує точка c така, що
b
f ( x) dx  f ( c)( b a) . (6.9)

a
Доведення. Оскільки (xf ) неперервна на [a ,b ], то за
*
другою теоремою Вейєрштрасса існують числа m і M такі,
що
min f (x ) m  f (x ) M  max f (x ) .
[a ,b ] [a ,b ]
0
Звідси за властивістю 7 одержимо

*
Вейєрштрасс Карл Теодор Вільгельм (1815-1897)– німецький математик.