Page 61 - 203_

ЛЕКЦІЯ 6. Означення та властивості визначеного інтеграла 61

b c c c b
 f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx,




a a b a c
тобто знову прийшли до рівності (6.3) □.
0
4 . Якщо всюди на відрізку [a ,b ], де a  , функція
b
f (x )  , 0 то
b
 f (x )dx  0 .
a
Доведення. Дійсно, будь-яка інтегральна сума
n
   f ( i  ) x i для функції f (x ) на [a ,b ] невід’ємна,
i1
оскільки
( f  i )  , 0 x i  x i  x  i 1  , 0 i  3 , 2 , 1 ...,n .
Переходячи до границі при   0 в нерівності
n
   ( f  i )x i  , 0 одержимо
 i 1
b
 f (x )dx  0 . □
a
0
5 . Якщо всюди на відрізку [a ,b ] (a  ) b , (xf ) g (x ),
то
b b

 f ( x) dx  g( x) dx . (6.4)
a a
0
Доведення. Застосуємо властивість 4 до функції
b

g (x )  f (x )  0 , маємо [g (x )  f (x )]dx  0 .
a