Page 60 - 203_

60

Доведення
b n
 [ f (x )  g (x )]dx  lim  [ ( f  i )  ( g  i )]x i 
  0
a  i 1
n n b b


lim  ( f  i )x i  lim  ( g  i )x i  f (x )dx  g (x )dx .
  0   0
 i 1 1  i a a
0
Зауваження. Властивість 2 має місце для будь-якого
скінченного числа доданків.
0
3 . Які б не були числа ,ba ,c , має місце рівність
b c b
f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx. (6.3)



a a c
Доведення. Припустимо спочатку, що a  c  b .
Оскільки границя інтегральної суми  не залежить від
способу розбиття відрізка ,[ ba ], то будемо розбивати ,[ ba ]
так, щоб точка c була точкою розбиття. Якщо, наприклад,
c  x то  можна розбити на дві суми:
m
n m n
   f ( i ) x i   f ( i ) x i   f ( i ) x i .
 i 1  i 1 i m 1
Переходячи в цій рівності до границі при   0 , одержимо
рівність (6.3)
Доведення для іншого розташування точок a, b, c
легко зводиться до попереднього випадку. Нехай,
наприклад, a  b  c ; тоді за доведеним, маємо
c b c
 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx.
a a b
звідки,