Page 58 - 203_

58
n
s  m 1 x 1  m 2 x 2 ...  m n x n   m i x i .
 i 1
Ці суми називаються відповідно верхньою і нижньою
сумами або верхньою і нижньою сумами Дарбу* функції
f (x ) для даного розбиття  відрізка ,[ ba ].
З означення нижньої і верхньої граней випливає, що
m  f ( )  M при   [x , x ]. Звідси
i i i i i 1  i
n n n
s   m  x    f   x  i i  M  x  S
i
i
i
i
i1 i1 i1
тобто будь-яка інтегральна сума і суми Дарбу для даного
розбиття пов’язані нерівностями
s   S .

Теорема 2. (необхідна і достатня умова
інтегровності) .
Для того, щоб обмежена на відрізку ,[ ba ] функція (xf )
була інтегрованою на цьому відрізку, необхідно і достатньо,
щоб
lim (  sS )  0
  0

Залишимо цю теорему без доведення, яке можна
знайти, наприклад, в [10].
Відзначимо деякі класи інтегровних функцій: функції
неперервні на відрізку [a ,b ]; функції обмежені на відрізку
[a ,b ] і неперервні на ньому всюди, крім скінченного числа
точок.

*Дарбу Гастон – французький математик