Page 56 - 203_

56

інтегральну випадку інтегральну суму  можна зробити як
завгодно великою при будь-якому розбитті відрізка ,[ ba ] із-
за вибору точок  ,  ,...  . Дійсно, оскільки f (x ) не
n
2
1
обмежена на [a ,b ], то при будь-якому розбитті відрізка
[a ,b ] вона має цю властивість хоча б на одному відрізку
розбиття, наприклад на [x 0 , x 1 ] . Виберемо на інших
відрізках розбиття точки  ,  ,...  довільно і позначимо
n
3
2
   f  )(  x  f  )(  x ...  f   x .
2 2 3 3 n n
Задамо довільне число M  0 і візьмемо таке  на
1
[x , x ] , щоб
0 1
   M
( f  1 )  .
 x 1
Це можна зробити із-за необмеженості функції f (x ) на
[x 0 , x 1 ] . Тоді

| f  |)(  x     M і   f  )(  x    f  )(  x     M ,
1 1 1 1 1 1
тобто інтегральна сума за абсолютною величиною більша
від будь-якого наперед заданого числа. Тому інтегральна
 не має скінченної границі при  0, а це означає, що
визначений інтеграл від необмеженої функції не існує. □
Зауваження. Обернена теорема не має місця, тобто
умова обмеженості функції f (x ) необхідна, але не
достатня умова інтегровності функції. Пояснимо це
*
тверження на прикладі. Розглянемо функцію Діріхлє на
відрізку ,0[ ] 1 :

*
Діріхлє Петер Густав Лежен (1805-1859) – німецький математик.