Page 57 - 203_

ЛЕКЦІЯ 6. Означення та властивості визначеного інтеграла 57

 ,1 якщо х раціональне число,
f (x )  
 , 0 якщо х ірраціональне число.
Функція Діріхлє, очевидно, обмежена. Проте вона не
інтегровна на 0[ ] 1 , . Покажемо це. Якщо при будь-якому
розбитті відрізка ] 1 , 0 [ вибрати раціональні точки
 i (x i 1  i  x i ) , то одержимо
n n
   f ( i ) x i   1   x i  ,1
 i 1  i 1
а якщо взяти  ірраціональними, то одержимо
i
n n
   f ( i ) x i   0   x i  ,0
 i 1  i 1
Таким чином, при розбитті на як завгодно малі частини
відрізка інтегральна сума може приймати, як значення яке
дорівнює 0, так і значення, яке дорівнює 1. Тому інтегральна
сума  при  0 границі не має.
Таким чином, для існування визначеного інтеграла від
деякої функції f (x ) остання, окрім обмеженості, повинна
мати деякі додаткові властивості, які забезпечать її
інтегровність. Для встановлення цих властивостей
необхідно ввести поняття нижніх і верхніх сум.
Нехай функція f (x ) обмежена на відрізку [a ,b ] і 
розбиття цього відрізка точками: a  x 0  x 1 ...  x i 1 

 x  x  b . Позначимо через m і M відповідно точну
i n i i
нижню і точну верхню грані цієї функції на відрізку [x i 1 , x i ] і
складемо наступні суми:
n
S  M x  M x ...  M x   M x
1 1 2 2 n n i i ,
 i 1