Page 55 - 203_

ЛЕКЦІЯ 6. Означення та властивості визначеного інтеграла 55

називається визначеним інтегралом від функції f (x ) на
відрізку ,[ ba ] і позначається наступним чином:
b
I   f ( x) dx (6.2)
a
або
b
n
 f ( x) dx  lim  f ( i  ) x i .
a  0 i1
В цьому випадку функція f (x ) називається
інтегровною на [a ,b ]. Числа a і b називаються відповідно
нижньою і верхньою межами інтегрування, f (x ) -
підінтегральною функцією, x - змінною інтегрування.
З означення визначеного інтеграла випливає, що
величина інтеграла (6.2) залежить тільки від виду функції
f (x ) та чисел a і b . Отже, якщо задані f (x ) і межі
інтегрування, то інтеграл (6.2) визначається однозначно і є
деяким числом. Звідси, зокрема, випливає, що визначений
інтеграл не залежить від вибору позначення для аргументу
підінтегральної функції, тобто від позначення змінної
інтегрування:
b b b


 f ( x) dx  f ( t) dt  f )( d і т. д.
a a a

6.2. Умови існування визначеного інтеграла.
Теорема 1. (необхідна умова інтегровності функції).
Якщо функція f (x ) інтегровна на відрізку [a ,b ], то вона
обмежена на цьому відрізку.
Доведення. Припустимо обернене, тобто що f (x ) не
обмежена на ,[ ba ]. Покажемо, що в цьому випадку