Page 50 - 203_

50


Таким чином, інтеграл sin m xcos n xdx виражається
або ні через елементарні функції в залежності від того, має
або ні цю властивість інтеграл від диференціального
бінома.
У випадку, коли m і n цілі (не обов’язково додатні)
числа, інтеграл  sin m xcos n xdx відноситься до типу
інтегралів, які розглядалися в пункті 5.1.
Наприклад, якщо m  2 k 1 (відповідно n  2 k 1) –
непарне число, то можна зробити підстановку u  cos x
(відповідно u  sin x )
 sin 2 k 1 xcos n xdx   1(  cos 2 x cos) k n xd cos x 


2

  1( u ) k u n du
Інтеграл зведено до інтеграла від раціонального дробу.
Аналогічний результат можна одержати і для інтеграла
 sin m xcos k 2 1 xdx за допомогою підстановки u  sin x .

Якщо m  2 k 1, n  2 l 1, то буває корисна
підстановка t  cos 2 x

2l
 sin 2k 1 x cos 2l 1 xdx   sin 2k x cos x sin x cos xdx 
k l
1   cos 2x  1   cos 2x  1 
    2    2    2 d cos 2x 




1 k l
   1 ( ) t  1 (  t ) dt ,
2 k  l 1
тобто знову отримали інтеграл від раціонального дробу.
Якщо обидва показники m і n додатні і парні (або один
з них нуль), то доцільно застосувати формули