Page 47 - 203_

ЛЕКЦІЯ 5. Інтегрування деяких тригонометричних функцій 47

Лекція 5. Інтегрування деяких тригонометричних
функцій. Тригонометричні підстановки.

5.1. Інтеграли типу R(sin x cos, x) dx .
Раціоналізація вказаного в заголовку інтеграла
x
досягається за допомогою підстановки u  tg
2
(   x  )  . Дійсно маємо
x x x
2 sin cos 2tg
2 2 2 2u
sin x    ,
2 x 2 x 2 x 1 u 2
cos  sin 1 tg
2 2 2
2 x 2 x
cos  sin 2
2 2 1 u
cos x   (5.1)
2 x 2 x 1 u 2
cos  sin
2 2
2du
x  2 arctg u , dx  , тому
1 u 2
 2u 1 u  du
2

 2 2  2
R (sin , x cos x )dx  2 R   ,  .
 1 u 1 u  1 u
Таким чином, отримали інтеграл від раціональної
функції.
dx
 1  sin x
Приклад 1. Обчислити .
Використовуючи формули (5.1), одержимо
dx du 2 2
  2  2    C   x  C .
1
 u
1 (
 )u
 sin x
1
1
1  tg
2
Зауважимо, що хоча розглядувані інтеграли завжди можна
звести до інтеграла від раціонального дробу вказаним