Page 48 - 203_

48

методом, при практичному його застосуванні він часто
приводить до громіздких обчислень; разом з тим інші
методи, зокрема підстановки виду
u  sin x , u  cos x , u  tgx ,
інколи значно швидше дозволяють обчислити потрібний
інтеграл.
У вказаних нижче випадках віддається перевага
наступним підстановкам, які також раціоналізують інтеграл:

1) Якщо інтеграл має вид R(sin x cos) xdx , то
підстановка u  sin x , du  cos xdx приводить цей інтеграл

до виду R( u) du .


2) Якщо інтеграл має вид R(cos x sin) xdx , то він
зводиться до інтеграла від раціональної функції заміною
u  cos x , du   sin xdx .
3) Якщо підінтегральна функція залежить тільки від
du
tgx , то заміна u  tgx , x  arctgu , dx  зводить цей
1 u 2
інтеграл до інтеграла від раціональної функції
du
 R (tgx )dx  R (u ) 1  u 2

4) Якщо підінтегральна функція має вид (sin xR , cos ) x ,
але sin і cos входять тільки в парних степенях, то
x
x
застосовується підстановка u  tgx , оскільки sin 2 x і cos 2 x
виражаються раціонально через tgx .
1 1
2
cos x  
1  tg 2 x 1  u 2