Page 49 - 203_

ЛЕКЦІЯ 5. Інтегрування деяких тригонометричних функцій 49

tg 2 x u 2
sin 2 x  
1  tg 2 x 1  u 2
du
dx 
1  u 2
Приклад 2.

u  tgx ,
x  arctgu ,
dx du du
 2  sin 2 x  dx  2 ,    2  
1 
u
 2  u  1 (  u 2 )
u 2   1  u 2  
2
sin x 
1  u 2
du 1 u 1  tgx 
 2  u 2 2 2 2   2  
  arctg  C  arctg    C .


5.2 Інтеграли типу sin m xcos n xdx .
Нехай m і n – раціональні числа. Інтеграл
 sin m xcos n xdx з допомогою підстановок u  sin x або
u  cos x зводиться до інтеграла від диференціального
бінома.
Дійсно, поклавши, наприклад, u  sin x , одержимо
1 1

2
2
cos x  1 (  u 2 ) , du  cos xdx , dx ( 1 u ) 2 du , тому
n1
2
 
m
sin m xcos n xdx  u 1(  u ) 2 du