Page 46 - 203_

46
r
де число s – знаменник дробу p , тобто p  , а у випадку,
s
m 1
коли  p - ціле ─ підстановка
n
1
s
z  ( ax  n  b) ,
де s - також знаменник дробу p .
*
П.Л. Чебишов показав, що при показниках m, і p ,
n
які не задовольняють вказаним вище умовам, інтеграл (4.4)
не виражається через елементарні функції.
Приклад 4. Розглянемо інтеграл
1
1 1 2   3 2  4
I   x 4 1 dx   x  1 x  dx .
x 3  
1 3 1 m  1
Тут m  , n  , p  ,   1; маємо другий випадок.
2 2 4 n
Зробимо вказану вище підстановку:
1
  3 2  4
z 1   x  (4.6)
 
 2 8  5 3
4
4
звідси x ( 1 z ) 3 , dx  1 (  z ) 3 z dz ,
3
і тому
8 z 4 2  1  2  z dz 
I   dz    d z       
3 1 (  z 4 ) 2 3  1 z 4  3  1 z 4 1  z 4 
z 2 1  1 1  z 2 1 1  z
    dz   ln 
4
4
1 ( 3  z ) 3    1 z 2 1  z 2  1 ( 3  z ) 6 1  z
1
 arctgz  C , де z виражається через x за формулою (4.6)
3

*
Чебишов Пафнутій (1821–1894) – російський математик.