Page 43 - 203_

ЛЕКЦІЯ 4. Інтегрування ірраціональних функцій 43

Зауваження. Обчислення інтегралів за допомогою
підстановок Ейлера звичайно приводить до громіздких
виразів, тому їх потрібно застосувати лише тоді, коли
інтеграл не вдається обчислити іншим більш коротким
способом. Розглянемо, наприклад, інтеграл типу
Ax  B
 dx . Цей інтеграл можна звести до
ax 2  bx  c
інтеграла від раціонального дробу з допомогою однієї з
підстановок Ейлера. Проте значно швидше до мети
приводить інший прийом.
A  Ab 
2 ( ax  b)   B 
Ax  B 2 a  2 a 
 dx   dx 
ax 2  bx  c ax 2  bx  c
A 2 ax  b  Ab  dx
  dx   B   
2 a ax 2  bx  c  2 a  ax 2  bx  c
A 2  Ab  dx
 ax  bx  c   B  
a  2 a   b  2  b 2 
a  x    c  

 2 a   4 a 
b 2
Тоді при c  і a 0 останній інтеграл можна звести
4 a
до вигляду

dt 2 2
  ln t  t  q  C
2
t  q 2
2
b dt t
а при c  і a 0 – до вигляду   arcsin  C
4 a q 2 t  2 q