Page 38 - 203_

38

Якщо в формулі (4.1) змінні u ,..., u є елементарними
1 n
тригонометричними функціями, то складна функція, яка
отримується, називається раціональною відносно
елементарних тригонометричних функцій. Прикладом такої
функції є:
2
2
sin x  cos x
 R (sin , x cos ) x
3
sin x  cos x
Перейдемо тепер до інтегралів від функцій вказаних
типів і покажемо, що в наступних випадках вони зводяться
до інтегралів від раціональних функцій.

  ax  b  r 1  ax  b  s r 

x,
4.2. Інтеграли типу R   ,...,    dx
  cx  d   cx  d  



Розглянемо інтеграли, вказані в заголовку пункту, при умові,
a b
що сталі r ,..., раціональні, і  0 a,( b, c, d - сталі).
r
1 s
c d
r
Нехай m – спільний знаменник чисел r ,..., :
1 s
p i
r  , p - ціле, i 1 2 , ,..., s
i i
m
m
ax  b dt  b
m
Покладемо t  , звідси x  m   ) (t ; (t )
cx  d a  ct
є раціональною функцією, тому  (t ) також раціональна
 ax  b  i r mr
функція; dx   (  t) dt ,    t i  t i p , i 1 2 , ,..., s .
 cx  d 
Тоді