Page 35 - 203_

ЛЕКЦІЯ 3. Інтегрування раціональних функцій 35

Перший інтеграл береться підстановкою
2
x  px  q  t , 2( x  p) dx  dt :
x 2 p dt t n 1 1
 x ( 2 px q) n dt   t n  1 n C  1 (  xn)( 2 px q)  n 1 C

Другий інтеграл позначимо його I і подамо у вигляді
n
dx dx
I     
n x ( 2  px  q) n  2  2   n

 x p     q p   

   2   4   

p
x   dxt,  dt 2 2 2
2 dt 1 t  a  t
     dt 
2
2
p 2 2 t ( 2  a ) n a 2 t ( 2  a ) n
q   a
4
1 dt 1 t 2
2 2 2 n 1  2 2 2 n dt
a  t(  a ) a  t(  a )
Останній інтеграл зінтегруємо частинами
u  ,dut dt
t 2 dt
 (t 2 a 2 n  dv  tdt ,v   1 1 
)
)
)
(t 2 a 2 n ( 2 n  ( )1 t 2 a 2 n 1
1  1 dt 
   t 2 2 n 1   2 2 n 1 
( 2 n  )1  (t a ) (t a ) 
Отже,
1 t 1
I  I   I .
n 2 n  1 2 2 2 n  1 2 n  1
a a 2 ( n  2 )(  at ) a 2 ( n  ) 2
Звідки при n 1
t 2n  3 dt
I   . (3.6)
n 2 2 2 n 1 2  2 2 n 1
a 2 ( n  )(2 t  a ) a 2 ( n  )2 (t  a )