Page 33 - 203_

ЛЕКЦІЯ 3. Інтегрування раціональних функцій 33

x 2  1 A Bx  C Dx  E
  
x (x 2  ) 1 2 x (x 2  ) 1 2 x 2  1
Зведемо до спільного знаменника і відкинемо його,
маємо
2
2
2
2
x  1  A( x  ) 1  ( Bx  C) x ( Dx  E)( x  x ) 1
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х:
1  A, 0  C  E ,  21 A  B  D , 0  E , 0  A  D ,
звідси знайдемо
A   1, B  2 , C  0 , D  1, E  0 ,
і, тому шуканий розклад має вигляд
2
x  1 1 2x x
   
2 2 2 2 2
x (x  ) 1 x (x  ) 1 x  1
Зауважимо, що в окремих випадках розклад на
елементарні дроби можна одержати швидше і простіше, не
використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.
Приклад 4.
1 1 (  x 2 ) x 2 1 1
   
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 1 (  x ) x 1 (  x ) x 1 (  x ) 1 (  x )

1 (  x 2 ) x 2 1 1 1 1
 2 2  2 2  2  2  2 2
x 1 (  x ) 1 (  x ) x 1 x 1 (  x )

3.2. Інтегрування елементарних раціональних
дробів. За теоремою 1 задача інтегрування раціональних
дробів зводиться до обчислення інтегралів типу
A
0
1 .  x  a dx
A
0
2 .  x (  a) n dx ( n =2,3,…)