Page 30 - 203_

30

Доведення. Із розкладу (3.4) маємо
 *
Q (x )  (x  a ) Q (x )
1
1
Тут
*
s 
2
Q ( x)  x (  a )  2 ...( x a ) r  x ( 2  p x q )  1 ...( x  p x q x)
2 r 1 1 s s
і, отже, Q * (a )  0 , тому, за лемою 1.
1
P (x ) A ) 1 ( P * (x )
 1 
Q (x ) (x  ) a  1 (x  a )  1  1 Q * (x )
1
Застосовуючи у випадку   1 подібним чином ту ж
1
P * (x )
саму лему до раціонального дробу  1 * ,
(x  a 1 ) 1  Q (x )
одержимо
P (x ) A 1 ) 1 ( A 1 ) 2 ( P * * (x )
  
Q (x ) (x  ) a  1 (x  a )  1  1 (x  a )  1  2 Q * * (x )
1 1

Продовжуючи цей процес далі, поки показник степеня у
співмножника x  a не дорівнюватиме нулю, а потім
1
поступаючи аналогічно відносно множників x  a , i =2,…,r,
i
матимемо

P (x ) A 1 ) 1 ( A 1 ) 2 ( A 1 ( 1 )
   ...  ...
Q (x ) (x  ) a  1 (x  a )  1  1 x  a
1 1

A ) 1 ( A ) 2 ( A ( r ) R (x )
 r  r  ... r 
(x  a r )  r (x  a r )  r  1 x  a r S (x )
R (x )
де - знову правильний раціональний дріб, (xR ),S (x ) -
S (x )
многочлени з дійсними коефіцієнтами і многочлен (xS ) не
має дійсних коренів.