Page 31 - 203_

ЛЕКЦІЯ 3. Інтегрування раціональних функцій 31

R (x )
Застосовуючи послідовно лему 2 до дробу і до
S (x )
виразів, які при цьому одержуються, в результаті одержимо
формулу (3.5). □
Раціональні дроби вигляду
A Mx  N
і
2
(x  ) a  (x  px  ) q 
p 2
де a, p, q, A, M, N - дійсні числа і  q  0 , називаються
4
елементарними раціональними дробами.
Таким чином, доведена теорема стверджує, що будь-
який правильний раціональний дріб можна розкласти на
суму елементарних раціональних дробів.
При виконанні розкладу вигляду (3.5) для конкретного
заданого дробу є зручний так званий метод невизначених
коефіцієнтів. Він полягає в наступному. Для даного дробу
P (x ) ( )
записується розклад (3.5), в якому коефіцієнти A i ,
Q (x )
( ) ( )
M , N вважаються невідомими (і=1,2,…,r,
j j
  2 , 1 ,...,  , j 1 2 , ,..., s ,   2 , 1 ,...,  ). Після цього обидві
i j
частини рівності зводяться до спільного знаменника і у
многочленів, які одержаться в чисельнику прирівнюються
коефіцієнти. При цьому якщо степінь многочлена Q (x )
дорівнює n , то в чисельнику правої частини (3.5) після
зведення до спільного знаменника одержується многочлен
степеня n -1, тобто многочлен з n коефіцієнтами, а число
невідомих A i ( ) , M ( ) , N ( ) також дорівнює n :
j
j
r s
  i   j  n
 2
i1 j1