Page 28 - 203_

28

*
P (x ) Mx  N P (x )  (Mx  N )Q (x )
  (3.3)
2

2
Q (x ) (x  px  ) q  (x  px  q ) Q * (x )
справедливу при будь-яких M i N . Виберемо M i N так,
щоб многочлен P (x )  (Mx  N )Q * (x ) ділився на
2
x  px  q  (x  z )(x  z ) . Для цього достатньо вибрати
1 1
M N i так, щоб z було коренем многочлена
1
P (x )  (Mx  N )Q * (x ) . Оскільки число z спряжене з z ,
1 1
також буде являтися коренем вказаного многочлена, то
2
многочлен буде ділитися на x  px  q . Отже, нехай
P (z 1 )  (Mz 1  N )Q * (z 1 )  0
P (z )
Якщо це має місце, то Mz  N  1 , де, за умовою,
1 *
Q (z 1 )
Q * (z )  0 .
1
P( z )
Нехай z  a  ib , 1  A  iB , тоді
1 *
Q ( z )
1
A  iB  Mz  N  M ( a  ib ) N
1
Звідси, прирівнюючи дійсні та уявні частини, одержимо
B
рівняння Ma  N  A і Mb  B і отже, M  і
b
a
N  A B .
b
При цих значеннях M N i многочлен
P (x )  (Mx  N )Q * (x ) буде ділитися на многочлен
1 1 1
2
x  px  q .
Скорочуючи другий доданок правої частини рівності
2
(3.3) на x  px  q , одержимо дріб вигляду