Page 29 - 203_

ЛЕКЦІЯ 3. Інтегрування раціональних функцій 29

P * (x )
,
2
(x  px  ) q   1 Q * (x )
причому, очевидно, що степінь P * (x ) менший за степінь
знаменника. □
P (x )
Теорема 1. Нехай - правильний раціональний
Q (x )
дріб, P (x ), Q (x ) - многочлени з дійсними коефіцієнтами.
Якщо
Q( x)  x (  a)  1 ...( x  a ) r  x ( 2  p 1 x  q )  1 ...
r
1
(3.4)
2
...( x  p x  q ) S 
s s
де a - попарно різні дійсні корені многочлена Q (x )
i
2
кратності  , i =1,2,…,r, а x  p x  q  (x  z )(x  z ) , де
i j j j j
z і z - попарно різні при різних j комплексні корені
j
j
многочлена Q (x ) кратності  , j 1 2 , ,..., s , то існують
j
дійсні числа A ( ) ,i  2 , 1 ,...,r ,   2 , 1 ,...,  ; M ( ) і N ( ) ,
i i j j
j  2 , 1 ,...,s ,   2 , 1 ,...,  такі, що
j
P( x) A ) 1 ( A ) 2 ( A ( 1  )
 1  1 ...  1 ... 
Q( x) ( x  a ) 1  ( x  a ) 1  1 x  a 1
1
1
(3.5)
A ) 1 ( A ) 2 ( A ( r )
 r  r ...  r 
( x  a ) r  ( x  a )  r 1 x  a
r r r
M 1 ) 1 ( x  N 1 ) 1 ( M 1 ) 2 ( x  N 1 ) 2 ( M 1 ( 1  ) x  N 1 ( 1  )
  1 ...  2 
2
2
( x  p x  q ) 1  ( x  p x  q ) 1  x  p x  q
1 1 1 1 1 1
M ) 1 ( x  N ) 1 ( M ) 2 ( x  N ) 2 ( M ( s ) x  N ( s )
...  s s  s s ...  s s
2
2
2
( x  p s x  q ) s  ( x  p s x  q )  s 1 x  p s x  q s
s
s