Page 27 - 203_

ЛЕКЦІЯ 3. Інтегрування раціональних функцій 27

P (a )  AQ * (a )  0.

Оскільки, за умовою, Q * (a )  0 , то звідси A  P (a ) .
Q * (a )
При такому А матимемо
P (x )  AQ * (x )  (x  a )P * (x ) ,
і другий доданок в правій частині формули (3.2) можна
a
скоротити на x  , в результаті одержимо дріб вигляду
*
P (x )

  1 *
(x  ) a Q (x )
Оскільки дріб отримали скороченням правильного
раціонального дробу на множник x  a , то і сам дріб також
є правильним раціональним дробом. □
P (x )
Лема 2. Нехай - правильний раціональний дріб.
Q (x )
Якщо комплексне число z  a  ib ( a i b дійсні) є коренем
1
кратності   1 многочлена (xQ ) , тобто
2
Q (x )  (x  px  q )Q * (x ) ,
2
де Q * (z )  0 , а x  px  q  (x  z )(x  z ) , то існують
1 1 1
дійсні числа M , N і многочлен P * (x ) з дійсними
коефіцієнтами такі, що
P (x ) Mx  N P * (x )
  ,
2
2
Q (x ) (x  px  ) q  (x  px  ) q  1  Q * (x )
P * (x )
де дріб - також є правильним.
2
(x  px  ) q  1  Q * (x )
Доведення. Напишемо тотожність