Page 26 - 203_

26

виконавши ділення чисельника на знаменник, дріб можна
зобразити у вигляді
P (x ) P * (x )
 R (x ) 
Q (x ) Q * (x )
P * (x )
де R (x ) , P * (x ) , Q * (x ) - деякі многочлени, а * -
Q (x )
правильний раціональний дріб.
Приклад 1.
x 5  x 3  x 2  1 2 2x 2  6 x 2
 x  3 
x 3  2 x 1 x 3  2 x 1
P (x )
Лема 1. Нехай - правильний раціональний дріб.
Q (x )
Якщо число a є дійсним коренем кратності   0

многочлена (xQ ) , тобто (xQ )  (x  a ) Q * (x ) і Q * (a )  0,
то існують дійсне число А і многочлен P * (x ) з дійсними
коефіцієнтами такі, що
P (x ) A P * (x )
  (3.1)
Q (x ) (x  ) a  (x  ) a  1  Q * (x )
P * (x )
де дріб також є правильним.
(x  ) a  1  Q * (x )
Доведення:
Напишемо тотожність
P (x ) A P (x )  AQ * (x )
    * , (3.2)
Q (x ) (x  ) a (x  a ) Q (x )

яка справджується при будь-якому А і визначимо сталу А
a
так, щоб многочлен (xP )  AQ * (x ) ділився на x  , тобто
визначимо А з умови