Page 25 - 203_

ЛЕКЦІЯ 3. Інтегрування раціональних функцій 25

( z  z )( z  z )  ( z  a  ib)( z  a  ib )
0
0

2 2 2 2 2 2
 ( z  a)  b  z  2 az  a  b  z  pz  q
2
2
де p   a 2 , q  a  b ; очевидно p і q дійсні. Відмітимо,
p 2 2 2 p 2 2
що  q   b , тому при b 0 ,  q  0 .
4 4
Отже, для будь-якого многочлена степеня n з дійсними
коефіцієнтами має місце розклад на множники вигляду:
P ( z)  A z (  a )  1 ...( z  a ) r  z ( 2  p z  q )  1 ...
n n 1 r 1 1

2
...( z  p s z  q ) s 
s
n S p 2
де   i  2   i  n , j  q j  0 , j 1 2 , ... S і всі
 i 1  i 1 4
коефіцієнти A , a ,..., a , p , q ,..., p q , - дійсні.
n 1 r 1 1 S S

Лекція 3. Інтегрування раціональних функцій.

3.1. Раціональні дроби. Розклад правильних
раціональних дробів на елементарні. Важливий клас
функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через
елементарні функції утворюють раціональні функції
(раціональні дроби), тобто функції, які можна зобразити у
P (x )
вигляді дробу , де (xP ),Q (x ) - многочлени з дійсними
Q (x )
коефіцієнтами.
P (x )
Раціональний дріб називається правильним, якщо
Q (x )
степінь многочлена P (x ) менший за степінь многочлена
( P ) x
Q (x ) . Якщо раціональний дріб не є правильним, то
Q ( ) x