Page 24 - 203_

24

Покажемо, що коли число z є коренем многочлена
0
P (z ) кратності k , то спряжене до нього число z є
n 0
коренем спряженого многочлена P (z ) і притому тієї ж
n
кратності.
Дійсно, переходячи в формулах
k
P (z )  (z  z ) Q (z ) , Q (z )  0 ,
n 0 n k n k 0
до спряжених виразів, одержимо
k
P (z )  (z  z ) Q (z ) , Q (z )  0 .
n 0 n k n k 0
Поклавши для наглядності  z ( z , як і z - довільні
комплексні числа) перепишемо одержані формули у вигляді
k
P ( )  (  z ) Q ( ) , Q (z )  0 .
n 0 n k n k 0
Це і означає, що число z є коренем кратності k для
0
многочлена P (z ) .
n

2.3. Многочлен з дійсними коефіцієнтами. Нехай
тепер всі коефіцієнти P (z ) є дійсними числами. В цьому
n
випадку спряжений многочлен P (z ) , очевидно, співпадає з
n
самим многочленом P (z ) . Тому з доведеного випливає, що
n
коли комплексне число z є коренем кратності k
0
многочлена P (z ) з дійсними коефіцієнтами, то і спряжене
n
до нього число z також є коренем кратності k цього
0
многочлена.
Відзначимо далі, що добуток (z  z )(z  z ) завжди є
0 0
многочленом з дійсними коефіцієнтами. Дійсно, нехай
z  a  ib , де a і b дійсні, тоді z  a  ib , і тому
0 0