Page 23 - 203_

ЛЕКЦІЯ 2. Деякі відомості про комплексні числа та многочлени 23

має комплексний корінь. Позначимо його через z , а його
2
кратність – через k . В результаті одержимо
2
2 k
P (z )  (z  z ) 1 k (z  z ) Q (z ) ,
n 1 2 n k 1 k 2
Q n k 1 k 2 (z j )  0, j 2 , 1 .
Якщо n  k  k  0 , то Q ( z ) A . Якщо ні, то
k 
1 2 n 1 k 2 n
процес можна продовжити. Проте цей процес після
скінченного числа (не більше n ) етапів закінчиться, і ми
одержимо формулу (2.6). Якщо в ліву частину (2.6)
підставити замість z число, відмінне від z ,..., z , то вона
1 m
не перетвориться в нуль. Це показує, що інших коренів, крім
знайдених, многочлен P (z ) не має і зображення (2.6)
n
єдине. □
Для многочлена P (z ) позначимо через P (z )
n n
многочлен, коефіцієнти якого є комплексними числами,
спряженими до коефіцієнтів многочлена P (z )
n
n
P (z )  A z  A z n 1  ... A  z A
n n n 1 1 0
Многочлен P (z ) називається многочленом,
n
спряженим до многочлена P n (z ) .
Із-за властивостей спряжених комплексних чисел
маємо
P (z )  P (z )
n n
Дійсно,
__________ __________ __________ ____
n n 1
P (z )  A z  A z  ... A z  A 
n n n 1 n 0
n
 A z  A z n 1  ... A  z A  P (z )
n n 1 1 0 n
Очевидно також, що (zP )  P (z ) .