Page 22 - 203_

22

k
P (z )  (z  z ) Q (z )
n 0 n k
де Q (z ) - такий многочлен степеня n  , що
k
n k
Q (z )  0 .
n k 0
Має місце теорема існування комплексного кореня у
многочлена.
Теорема 2. (основна теорема алгебри) Будь-який
многочлен степеня n 1 має принаймні один комплексний
корінь.
Приймаємо теорему без доведення. З теореми
випливає важливий наслідок.
Наслідок 2. Многочлен n –го степеня P (z ) зі старшим
n
не рівним нулю коефіцієнтом (A  ) 0 має n комплексних
n
коренів з врахуванням кратності, інакше кажучи P (z )
n
представляється у вигляді добутку
k
k 1
k 2
P ( z)  A z (  z ) z (  z ) ...( z  z ) m (2.6)
n n 1 2 m
k  k ...  k  n ,
1 2 m
де z ,..., z - різні корені P (z ) кратностей відповідно
1 m n
k ,..., k .
1 m
Доведення. За теоремою многочлен P (z ) має
n
принаймні один корінь. Позначимо його через z , а його
1
кратність – через k . Тоді
1
1 k
P (z )  (z  z ) Q (z ) , Q (z )  0 ,
n 1 n 1 k n  1 k 1
Якщо n  k  0 , то n  k і Q ( z ) A , і теорема
1 1 n k 1 n
n
доведена. В цьому випадку P ( z)  A z (  z ) .
n n 0
Якщо ж k  n , то Q (z ) є многочлен степеня n  k .
1 n 1 k 1
До нього можна застосувати основну теорему, за якою він