Page 21 - 203_

ЛЕКЦІЯ 2. Деякі відомості про комплексні числа та многочлени 21

n
P (z )  A z  A z n 1  ... A  z A ;
n n n 1 1 0
де A , i  1 , 0 ,..., n ─ сталі коефіцієнти дійсні або комплексні,
i
а z ─ змінна. Якщо A  0 , то число n називається
n
степенем многочлена.
Означення 3. Комплексне число z таке, що P (z )  0
0 n 0
називається коренем даного многочлена.
*
Теорема 1. (Безу ) При діленні многочлена P (z ) на
n
різницю z  z одержується залишок, що дорівнює P (z ) .
0 n 0

Доведення. При діленні P (z ) на z  z часткою буде
n 0
многочлен Q (z ) , степінь якого на одиницю менший за
n 1
степінь P (z ) , залишком буде стале числоr :
n
P ( z  () z  z ) Q ( z ) r (2.5)
n 0 n1
Нехай z прямує до z . Тоді границя лівої частини (2.5)
0
дорівнює P (z ) , а границя правої частини дорівнює r .
n 0
Звідси r  P (z ) . □
n 0
Наслідок 1. Якщо z ─ корінь многочлена, тобто
0
P (z )  0 , то P (z ) ділиться без залишку на z  z і, отже,
n 0 n 0
представляється у вигляді добутку
P (z )  (z  z )Q (z )
n 0 n 1
Означення 4. Якщо многочлен P (z ) ділиться на
n
k
z (  z ) ( k – натуральне число) і не ділиться на (  zz ) k  1 ,
0 0
то число k називається кратністю кореня z .
0
Таким чином, якщо комплексне число z є коренем
0
кратності k многочлена P (z ) , то
n

*
Безу Етьєн (1730-1783) – французький математик.