Page 18 - 203_

18

n n
 (cos ir  sin  )  r (cos  in  sin n )  .
*
Ця формула називається формулою Муавра .
Корінь n –го степеня w  n z з комплексного числа z
визначається як таке число w , n –ий степінь якого дорівнює
n
підкореневому виразу w  z . Якщо
z  r (cos  i sin )  , а w   (cos  i sin ) ,

то  n (cos n  i sin n )  r (cos  i sin ) , звідси
  n r
Тут корінь розуміється в арифметичному значенні – як
невід’ємне дійсне число, оскільки за означенням модуля
комплексного числа   0 .
  k  2
Далі, n    k  2 ( k – ціле), або  
n
По суті різні значення аргументу одержуються при
різних значеннях k  1 , 0 ,..., n 1 ; різні в тому розумінні, що
якщо позначити ці значення аргументу  і написати
к
w   (cos  i sin ) , то при   0 одержаться різні
к к к
комплексні числа. При всіх інших k значення  будуть
відрізнятися від вказаних чисел  на кратне 2 , тобто ці
k
значення аргументу будуть приводити до одного з
комплексних чисел w , k 1 , 0 ,..., n 1. Таким чином, корінь
к
n
z має при z 0 рівно k значень w ,w ,...,w .
0 1 n  1
На комплексній площині числа w , k 1 , 0 ,..., n 1
k
розташовуються в вершинах правильного n – кутника,
вписаного в круг радіуса  з центром в початку координат.

*
Муавр Абрахам де (1667 – 1754) – англійський математик.