Page 17 - 203_

ЛЕКЦІЯ 2. Деякі відомості про комплексі числа та многочлени 17

z  r (cos  i sin ) , z  r (cos  i sin ) .
1 1 1 1 2 2 2 2
Знайдемо добуток цих чисел
z z  r (cos  i sin )r (cos  i sin )  rr [(cos cos 
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
 sin sin )  i (sin cos  cos sin )]  rr [cos(   ) 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 i sin(   )]
1 2

Таким чином
zz 1 2  rr 1 2 [cos(   2 )  i sin(   2 )] , (2.4)
1
1
тобто добуток двох комплексних чисел є таким комплексним
числом, модуль якого дорівнює добутку модулей
співмножників, а аргумент дорівнює сумі аргументів
співмножників.
Покажемо, що модуль частки двох комплексних чисел
дорівнює частці модулей діленого і дільника, аргумент
частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника,
тобто
z 1 r 1
 cos(   2 )  i sin(   2  )
1
1
z r
2 2
Для перевірки цієї рівності достатньо помножити
дільник на частку
r
r (cos  i sin ) 1 cos(   ) i sin(    ) 
2 2 2 1 2 1 2
r
2
r
 r 2 1 cos(     2 ) i sin(     2  ) 
1
1
2
2
r 2
 r (cos  i sin )
1 1 1
Методом математичної індукції легко показати, що
z z ... z  z  z ... z
1 2 n 1 2 n
Arg ( zz ...z )  Arg (z )  Arg (z )  ... Arg (z ) .
1 2 n 1 2 n
Зокрема, якщо всі співмножники рівні між собою,
одержимо