Page 21 - 169

Простір станів утворюється при моделюванні об’єктів з багатьма
виходами, або в результаті заміни диференційного рівняння n–го порядку, яке
описує об’єкт, системою з n–диференційних рівнянь, що можна зробити за
допомогою різних методів:
- якщо диференційне рівняння має наступний вигляд:
d n y d n 1 y dy
a 0  a 1   a n 1  a n y  b 0 x (2.1)
dt n dt n 1 dt
тобто рівняння n–го порядку немає похідних від параметрів входу. Розв’язуємо
таке рівняння відносно похідної n–го порядку:
d n y a d n 1 y a dy a b
  1    n 1   n y  0 x (2.2)
dt n a dt n 1 a dt a a
0 0 0 0
далі вводимо фазові змінні:
dy dy dy dy
y  y ; 1  y ; 2  y ; ; i1  y ; ; n1  y
1 2 3 i n
dt dt dt dt
dy d 2 y dy
1 2
 y    y 3
dt 2 dt 2 dt
d 3 y dy d i1 y dy d n1 y dy d n y dy
 3  y   i1   n1  y   n
dt 3 dt 4 dt i1 dt dt n1 dt n dt n dt
таким чином отримуємо наступну систему рівнянь першого порядку:

 dy
1
  y 2 ;
 dt
dy
2  y ;
 dt 3


  (2.3)
 dy
 i 1  y i ;
 dt
 dy a a a b
 n   1  y   n 1  y  n  y  0  ;x
 dt a 0 n a 0 2 a 0 1 a 0


- для реальних об’єктів, що описані диференційними рівняннями в яких
задовольняється наступна умова:
m<n,
де: m, n -порядок похідної параметру на вході, виході відповідно.
Якщо така умова не виконується то необхідно замінити в рівнянні
коефіцієнти b m+1, b m+2,…, b n нулями, що дозволить записати вихідне рівняння в
наступному вигляді:
d n y d n1 y dy dx d n1 x d n x
a  a   a  a y  b x  b   b  b (2.4)
n n n1 n1 1 0 0 1 n1 n1 n n
dt dt dt dt dt dt
отримане рівняння можна розкласти в систему з n диференційних рівнянь
першого порядку: