Page 24 - 169

неперервна на інтервалі спостереження то існує така функція P(U), що
задовольняє умову:
f (U )  (UP )  

для будь-якого (U) з інтервалу [A, B].
Задачу побудови функції апроксимації P(U), яка б задовольняла критерію
2.9 можна вирішити наступним чином.
Якщо (n) – кількість вузлів апроксимації для яких відомо значення
{U 1,U 2,…,U n; x 1,x 2,…,x n}, то поліном P(U) шукають в наступному вигляді:
n
P( U)  Px ( U)  x P ( U) ...  x P ( U)  x P ( U) (2.10)
1 1 2 2 n n  i i
 i 1
~
Оскільки x  P (U i ) то згідно з критерієм 2.9 в точках апроксимації
i
необхідно забезпечити виконання наступної умови:

P( U )  x ; i  n , 1 . (2.11)
i
i
Така умова буде виконуватись тільки у випадку, якщо P i (U i )  , 1 а
P (U )  0 для ( k = 1…n та k  i ).
k i
Функції 2.11 найбільш зручно побудувати взявши їх в наступному
вигляді:
P (U )  A (U  U )(U  U )...(U  U )(U  U )...(U  U ) (2.12)
i i 1 2 i 1 i 1 i n
або
n
P ( U)  A  U ( U ) (2.13)
i i s
s  s,1 i
В цьому виразі відсутній співмножник (U – U i), тобто U  U i ; для
забезпечення виконання умови U = U i  (UP i i )  , 1 величину A i відображають
виходячи з наступної умови:
1
A  (2.14)
i
(U  U 1 )(U  U 2 )...(U  U i 1 )(U  U i 1 )...(U  U n )
i
підставивши значення коефіцієнту A i отримаємо:
n
 U ( U )
s
P ( U)  s  s,1 i
i n (2.15)
 U ( i U )
s
s  s,1 i
Таким чином, враховуючи вирази 2.10, 2.13 і 2.15 можна записати
наступне:
n
 U ( U )
n s
P( U)  x s  s,1 i
 i n (2.16)
 i 1
 U ( i U )
s
s  s,1 i
Отриманий поліном P(U) називають інтерполяційним поліномом
Лагранжа.