Page 56 - Г

Принцип максимуму дозволяє варіаційну задачу
знаходження керування U* (τ), що забезпечує екстремум
функціонала (170), звести до більш простої задачі визначення
U* (τ), максимізуючій функцію Гамільтона h (U), що для
випадку скалярного керування має вид
m
u ( h ) i ( f ) i ( X u , ), (3.15)
i 0
де функції i ( ) знаходять, розв’язуючи систему 2m + 1
диференціальних рівнянь
d 0 ; 0 d i h m f i ( X u , ) ; dx i f ( X u , ) (3.16)
d d x i j 0 i x i d i
з початковими умовами x j(0)=x 0, j=1, …, m і
0 ( ) c i , 1 , 0 ,..., . m
i i
Одержані значення x i(τ) і i ( ) підставляють в (3.15) і
далі розв’язують задачу визначення u* (τ), що доставляє
максимум функції Гамільтона
h [u ( )] max , (3.17)
( u ) u
де Ω u – замкнена множина допустимих значень u.
Для часткового випадку, коли множина Ω u відкрита і
праві частини рівнянь (3.16) настільки прості, що можливий
їхній аналітичний розв’язок, задача (3.17) може бути
розв’язана за допомогою рівняння h / u 0 . Якщо Ω u -
замкнена, множина, необхідно враховувати можливість
керування u*(τ) максимізую чого h (u), виявитися на границі
допустимої області Ω u.
У більшості практичних задач аналітичний розв’язок
системи рівнянь (3.16) знайти не вдається через складність
їхніх правих частин, тому в цих випадках використовують
чисельні методи інтегрування. При цьому спочатку
розв’язується система диференціальних рівнянь (3.16) для
приведених вище початкових умов і керування u (т). Розв’язок
цієї системи Х (τ) і V (τ) використовується для обчислення
функції Гамільтона за формулою (3.15), яка максимізується на
кожному кроці інтегрування одним із методів
однопараметричного локального пошуку з врахуванням
обмежень. Отримане значення керування u використовується
при розв’язку системи (3.16) і обчисленні функції (3.15) на
наступному кроці інтегрування. Основні труднощі, які
виникають при такій процедурі, зв'язані з визначенням
початкових умов i ) 0 ( c . Їх підбирають, повторюючи
i