Page 55 - Г

де с i - невідомі параметри; Ψ i - відомі функції τ, система яких
дозволяє будь-яку неперервну функцію представити у вигляді
ряду з числом членів, визначеним необхідною точністю
представлення екстремалі. Функції Ψ i (τ) вибирають з
врахуванням граничних умов варіаційної задачі. Потім
підставивши (3.11), наприклад, в (3.9), представляють

функціонал у вигляді функції змінних с i , тобто J[x(τ)]
заміняють J(с i). Далі визначають значення с i, при яких J(с i)
має екстремум, звичайними методами математичного
програмування, розв’язуючи таким чином задачу
параметричної оптимізації. Можливе застосування й іншого
методу апроксимації невідомої функції х (τ) — за допомогою
кусково – лінійної функції.
Основним недоліком розглянутих методів класичного
варіаційного числення є те, що вони дозволяють розв’язувати
задачу оптимального керування тільки при відкритих
областях зміни змінних керування U (τ) і стану Х (τ), тобто
таких, коли ці змінні не досягають своїх граничних значень. У
замкненій області зміни змінних керування, що включає
граничні точки, і відкритої області зміни змінних стану можна
розв’язувати задачі оптимального керування за допомогою
методу динамічного програмування і принципу максимуму.
Принцип максимуму, розроблений Л. С. Понтрягіним
і його співробітниками, є розширенням класичного
варіаційного числення для випадку, коли керування обмежені
замкненою областю й описуються кусково – неперервними
функціями. Для задач, в яких шукана екстремаль цілком
знаходиться у відкритій області, принцип максимуму дає ті ж
результати, що й метод класичного варіаційного числення.
При використанні принципу максимуму
передбачається, що критерій оптимальності заданий у вигляді
функціонала

K
J f 0 ( X U , d ) , (3.12)

0
зв'язку – системою диференціальних (можливо і нелінійних)
рівнянь, яка у векторній формі має вид
.
X f i ( X U , i ), 1 ,..., m (3.13)
обмеження – системою нерівностей
F ( X U , ) , 0 (3.14)
а крайові умови – виразом (3.3).