Page 59 - Г

цьому варіаційну задачу оптимізації зводять до визначеного
числа простих задач максимізації (мінімізації) функцій щодо
малої кількості змінних, так як всередині обраного
тимчасового інтервалу можна прийняти, що змінні керування
і стани об'єкта не змінюються.
При заміні неперервного процесу процесом з
дискретним часом диференціальні рівняння (3.13) заміняють
кінцево-різницевими рівняннями:
X l X l 1 X l X l 1 F (X l 1 ,U l ) ;
U l U l 1 U l ; ( K 0 / ) N ,
де / == 1, ..., N; N – кількість кроків на інтервалі τ 0, ..., τ К; а
функціонал (3.12) представляють у вигляді суми
N
J f ( X l 1 , U ) .
l
l 0
l 1
Покроковий розрахунок оптимальних значень змінних
керування і стану роблять «з кінця», тобто починаючи з
останнього (l= N — 1) і закінчуючи першим (l=1) інтервалом
за допомогою наступного рекурентного співвідношення:
J * l (X l 1 ) max f 0l (X l 1 ,U l * ) J l * 1 [X l (X l 1 ,U l * )] .
U l * u
*
Таким чином, на 1-ому кроці оптимальне керування U
l
вибирають з умови максимуму двох членів суми, що стоять у
фігурних дужках, з яких другий J l * 1 відповідає оптимальному
значенню критерію оптимальності на попередньому l+1-ому
інтервалі, а перший f 0l – залежить від початкового значення
*
вектора змінної стану X l-1 і оптимального керування U на l-
l
ому кроці. Так як покроковий розрахунок методом
динамічного програмування через велику кількість обчислень
роблять на ЕОМ, то на l-ому кроці в запам'ятовуючий
пристрій ЕОМ необхідно передати X l-1, U l і J l * 1 . Після
закінчення розрахунків за цими даними можна побудувати
наближені (враховуючи заміну неперевного процесу –
процесом з дискретним часом) оптимальні траєкторії X* (τ) і
U* (τ). Оскільки реалізація такого методу розрахунку
пов'язана з перебором (хоча й обмеженим) варіантів, то
недопустимі за обмеженнями X ( ) x і U )( u варіанти
виключаються з перебору, а отриманий розв’язок представляє
глобальний максимум функціонала. Ефективність методу
динамічного програмування в значній мірі залежить від
розмірності розв'язуваної задачі, яка визначається розмірністю
векторів стану і керування. При збільшенні розмірностей