Page 54 - Г

. ..
( ) ( ) ( ) x ( .. x 0 (3.10)
)
x . . .
x x x x x
разом з рівнянням зв'язку, причому
( ) ( ) , f
)
де ( - невизначений множник Лагранжа, що є в даній
задачі невідомою функцією τ, яка визначається разом з
невідомою функцією х (τ) при розв’язку системи
диференціальних рівнянь (3.10).Таким чином,
використовуючи множники Лагранжа переходять від умовної
задачі оптимізації до безумовної, в якій підінтегральною
функцією функціонала (3.9) є ( ) . У випадку багатомірного
об'єкта х і λ стають векторами Х и Λ, f - вектором-функцією F,
а для знаходження екстремуму функціонала (3.9) необхідно
розв’язати систему рівнянь Ейлера. Методи варіаційного
числення дозволяють розв’язати задачу динамічної
оптимізації і у випадку, коли у функціонал входять похідні
вищих порядків (рівняння Ейлера - Пуассона), або коли
функціонал (3.6) характеризує кінцевий стан (задача Майєра)
чи представлена виразом (3.7) (задача Больца) .
Як вказувалося вище, рівняння Ейлера звичайно
виявляється нелінійним диференціальним рівнянням II
порядку, тому для його розв’язку найчастіше використовують
чисельні методи, так як аналітичний розв’язок вдається
одержати в порівняно рідких випадках. Однак і при
використанні чисельних методів виникають труднощі,
характерні для двоточкових граничних задач. Так, при
розв’язку системи рівнянь (3.10) щодо векторів Х і Λ для
заданих Х X ( 0 ) і X ( К ) невідомі початкові значення
множників Лагранжа ( 0 ).Тому задаючись різними
початковими значеннями ( 0 ) багаторазово розв’язують
варіаційну задачу доти, поки на кінцях траєкторій Х (τ) не
одержують задані значення векторів X ( 0 ) і X ( К ) .
Для того, щоб уникнути перерахованих труднощів
іноді використовують прямі методи [20], при яких розв’язок
варіаційної задачі зводять до розв’язку задач математичного
програмування за рахунок того, що невідому функцію х(τ)
представляють у вигляді ряду
k
x )( c i i ( ), (3.11)
i 1