Page 58 - Г

J n J
max f ( X , U, ) f ( X , U, ) (3.19)
U 0 x i
i 0 i
при умовах
.
X ( ) f i (X ,U , ); X ( ) u ;U ( ) u ; 0 K ,
де J* - допоміжна невідома функція Беллмана, яка в.даному
випадку
K
J ( * X , ) max f (X ,U , )d .
U 0
Труднощі, пов'язані з використанням рівняння
Беллмана обумовлені необхідністю визначення невідомої
функції J* (X, τ) і її часткових похідних. Для знаходження
функції Беллмана можуть використовуватися прямі методи.
Зокрема, А.М.Летов пропонує шукати допоміжну функцію
Беллмана у вигляді квадратичної форми,. диференційованої по
всіх координатах x i:
n
J (* X ) A ij x i x .
j
i, j 1
Однак часткові похідні невідомої функції J* існують не
завжди, тому область застосування рівняння (3.19) істотно
вужча області застосування відповідних рівнянь принципу
максимуму.
Оптимальне керування U* (τ) знаходять в результаті
розв’язку рівняння (3.19). Для часткового випадку, коли
множина Ω u відкрита, рівняння (3.19) може бути замінене
системою функціональних рівнянь
n J * J *
f ( X , U, ) f ( X , U, ) ; 0
i
0
i 1 x i
f 0 (X ,U , ) n J * f i (X ,U , ) , 0 (3.20)
U i 1 x i U
які містять необхідну умову оптимальності, тоді як рівняння
(3.19) включає і достатню умову. У тому випадку, коли
множина Ω u замкнута і керування знаходяться на границі цієї
області, заміною рівняння (3.19) системою (3.20) не можна
скористатися для розв’язку оптимальної задачі.
Однаквраховуючи те, що ефективність методу динамічного
програмування виявляється значно вищою при розв’язку
дискретних оптимізаційних задач, неперервний процес
заміняють еквівалентним процесом з дискретним часом. При