Page 53 - Г

. ..
x x , 0
x . . . .
x x x x x
яке звичайно виявляється нелінійним диференціальним
рівнянням II порядку. Довільні постійні розв’язки цього
диференціального рівняння визначаються за допомогою
граничних умов. Для задачі із закріпленими кінцями
підставляють x ( 0 ) x і x( R ) x в інтеграл рівняння
R
0
Ейлера, розв’язуючи отриману в такий спосіб систему рівнянь
щодо постійних інтегрування. Для задачі з вільними кінцями
додатково використовують умови трансверсальності, які
встановлюють зв'язок між кутовими коефіцієнтами дотичних
до екстремалі та обмежуючої кривої в граничних точках.
Достатніми умовами існування екстремалі є умови
Лежандра:

для мінімалі ; 0
. .
x x

для максималі . . . 0
x x
Початкова підінтегральна функція функціонала (3.9)
.
( , , x ) u приводиться до виду ( , , x ) x за допомогою
рівняння зв'язку (3.8). Однак такий спосіб виключення
залежної функції можна застосувати не завжди, крім того, він
часто приводить до значного ускладнення функціонала. Тому
в цих випадках розв’язується варіаційна задача на умовний
экстремум, у якій функціонал залежить від декількох функцій,
зв'язаних між собою додатковими умовами у вигляді рівнянь
зв'язку.
Зв'язки у вигляді диференціальних рівнянь (3.4, а)
одержали у варіаційному численні найменування
неголономних на відміну від голономних — у вигляді
кінцевих співвідношень. В ізопараметричних задачах як
додаткові умови використовуються інтегральні
співвідношення.
При існуванні додаткових умов у вигляді
диференціальних рівнянь задача знаходження екстремалі
функціонала (3.9) зводиться до розв’язку диференціального
рівняння