Page 51 - 157

Якщо m відомо, то
1 N 2
S 2   n j x j  m X  .
X
N j 1
Лише дечим більш складно виглядає відповідна формула для
обчислення по згрупованим даним вибіркового коефіцієнта кореляції [8].
Застосування згрупованих даних дасть економію в розрахунках, якщо
N>25, причому точність оцінювання знижується незначно, особливо при
обчисленні x і r. Оцінка дисперсії при використання згрупованих даних для
ряду розподілів (зокрема, нормального і близьких до нього) може бути трохи
уточнена шляхом додатка до результату, обчисленому по (2.29), так званого
2
виправлення Шеппарда [6], рівного   x / 12 .
Докладно різні раціональні прийоми обчислень оцінок дані в [5, 8].

2.4. Інтервальні оцінки. Довірчий інтервал

Вибіркові розподіли, введені в § 2.4, використовувалися для аналізу
€
імовірнісних властивостей різного роду оцінок  деякого параметра Θ у
припущенні, що цей параметр генеральної сукупності відомий. Зокрема, у
такій ситуації виявляється можливим до витягу вибірки обсягу N вказати
€
границі, в яких із заданою імовірністю р виявиться вибіркове значення .
Іншими словами, вибіркові розподіли на підставі знання загальних
властивостей генеральної сукупності дають можливість судити про окрему
приватну вибірку й оцінки, отримані на її основі. Однак реально параметри
генеральної сукупності невідомі і, безсумнівно, більший практичний інтерес
представляє рішення зворотньої задачі: по окремій вибірці винести
обґрунтоване судження про властивості (параметри) генеральної сукупності,
€
тобто використовувати вибіркову оцінку  для одержання імовірнісних
тверджень щодо параметра Θ.
Розглянуті раніше точкові оцінки параметрів не дають інформації про
€
ступінь близькості  до відповідного теоретичному параметру Θ. Тому
більш інформативний спосіб оцінювання невідомих параметрів полягає не у
визначенні одиничного точкового значення, а в побудові інтервалу, де з
заданим ступенем вірогідності буде знаходитися оцінюваний параметр, тобто
в побудові так званої інтервальної оцінки параметра.
Інтервальною оцінкою параметра Θ називається інтервал, границі якого
l 1 і l 2 є функціями вибіркових значень х 1, х 2,…,x N і який із заданою
імовірністю р накриває оцінюваний параметр Θ:
€
l
P l    € 2  p . (2.46)
1
€
€
Інтервал  l,l € 1 € 2  називається довірчим, його границі l і l , що є
1
2
випадковими величинами, – відповідно нижньою і верхньою довірчими
межами, імовірність р – довірчою імовірністю, а величина q = 1 – р – рівнем
значимості, використовуваним при побудові довірчого інтервалу.

47