Page 50 - 157

€
допомогою вибіркового розмаху  можна оцінити значення
середньоквадратичного відхилення  по формулі
X
 X  a / , (2.26)
€ 

де значення а беруться з табл. 2.5 (більш докладну таблицю див. у [11]).

Таблиця 2.5. Константи для обчислення €  по вибірковому розмаху
X

N 2 5 10 15 20 30
a 1,13 2,33 3,08 3,47 3,73 4,1

Подібна оцінка €  є заможною, незміщеною, але неефективною, причому з
X
ростом N ефективність її монотонно убуває. Однак при N<20 показник
ефективності e €  X для цієї оцінки мало відрізняється від 1 (е = 1 при N = 2; е
= 0,96 при N = 5; е = 0,77 при N = 15). Тому застосування зазначеної оцінки,
як правило, обмежене малими вибірками (N<20).
Оцінка коефіцієнта кореляції. Вибіркове значення коефіцієнта
кореляції обчислюється по формулі

1 N N
 x  x x  x   x  x x  x 
N  i 1  1 i 1 1 i 2 2 i 1 i 1 1 i 2 2
r   , (2.27)
2 2 2 / 1
S S  N 2 N 2
X 1 X 2  x  x   x  x 
 i 1 1 i 2 2 
i   1 i 1 
2
де x , S X j , j = 1, 2, – оцінки відповідно математичного очікування і дисперсії
j
кожної з двох випадкових величин, обумовлені за допомогою співвідношень
(2.16) і (2.24). Дана оцінка коефіцієнта кореляції є заможною й асимптотично
незміщена.
Відзначимо, що між величиною і знаком коефіцієнта кореляції, з
одного боку, і видом діаграми розсіювання — з іншого, існує визначений
зв'язок. Якщо осі координат сполучити з x і x , то:
1 2
а) при ρ>0 точки на діаграмі розсіювання групуються в основному в
1-му і 3-му квадрантах, а при ρ<0 – у 2-му і 4-му;
б) при  0 точки безладно розкидані у всіх чотирьох квадрантах;
в) при   1 точки групуються на прямих (які находяться або в 1-му і

3-му квадратах, або в 2-му і 4-му).
2
Для вибірок досить великого обсягу розрахунок оцінок x і S може
X
вироблятися по згрупованим даним:
1 N
*
x   n j x ; (2.28)
j
N j 1
1 N 2
S 2   n x *   x . (2.29)
X j j
N j 1

46