Page 49 - 157

Оцінювати центр розподілу за допомогою вибіркової медіани доцільно,
коли є підстави думати, що мають місце змішані розподіли, які задаються
сумою, але по крайній мірі, два розподіли із трьох відрізняються
параметрами. Вибіркова медіана виявляється малочутливою стосовно грубих
помилок виміру, різного роду аномальних значення і т.п., і тому знаходить
практичне застосування, особливо на попередніх етапах дослідження.
2
Оцінка дисперсії  . Якщо математичне очікування випадкової
X
2
величини X відомо, то оцінка дисперсії  може бути обчислена по формулі
X
2 1 N 2
S   x  m  . (2.21)
X i X
N i 1
2
Оцінка S є заможною, незміщеною і для нормальної сукупності
X
2
ефективною оцінкою дисперсії  .
X
2
Якщо m невідомо, дисперсія  може бути оцінена за допомогою
X
співвідношення, аналогічного (2.21), де замість m використовується
відповідне вибіркове значення x :
N
N
2
 .
 € 2  1  x i  x   1  x 2  x 2 (2.22)
X
N i 1 N i 1 i
Така оцінка є заможною. Однак ця оцінка зміщена. Неважко показати,
що


 1
M   € 2 N 1  2   2  1  (2.23)
X
X
X
N  N 
2 2
і хоча   X €  , коли N   , тобто оцінка асимптотично незміщена, при
M
X
малих N зсув оцінки може бути дуже великим. На практиці віддають
2
перевагу незміщеній оцінці дисперсії  виду
X
2 1 N 2 1 N  2 N 2 
S X   x i  x    x i    . (2.24)
x
N  i 1 1 N  i 1 1  N 1 
Оцінка (2.24) заможна, але для нормальної сукупності вона
неефективна. Показник ефективності її дорівнює
 N   1  1 
     1  .
e 2
S
X  N   N 
Очевидно, що lim e 2  1, тобто оцінка (2.24) асимптотично
N  S X
ефективна.
Для наближеної оцінки ступеня розсіювання випадкової величини
може бути використаний розмах вибірки
€
  x max  x min , (2.25)
€
Розмах вибірки  на відміну від розмаху випадкової величини  (див.
§ 1,2) може застосовуватися і для опису властивостей необмеженої
випадкової величини. Наприклад, у випадку нормальної сукупності за

45