Page 48 - 157

Точкові оцінки. Оцінка невідомого параметра розподілу, обумовлена
одним числом, називається точковою. Саме для таких оцінок
використовуються в основному поняття заможності, незміщеності,
ефективності (див. § 2.1). Розглянемо оцінки і їхні властивості для ряду
найважливіших параметрів.
Оцінка математичного очікування m випадкової величини х. Як оцінка
m найчастіше використовується вибіркове середнє x :
N
 x i
1
x  x  x  ... x N  i 1 . (2.16)
1
2
N N
Щоб описати мінливість цієї функції від вибірки до вибірки при
фіксованому N, розглядається відповідна випадкова величина X :

N
 X
1 i
X  X  X  ... X N  i 1 . (2.17)
2
1
N N
Тоді за допомогою (1.32) легко одержати
1 N Nm
M  X   M  X  X  m ;
N i 1 i N X
2 (2.18)
1 N 2 N X  2
D      i  X .
X
2 X i 2 N
N i 1 N
Таким чином, вибіркове середнє x є заможна незміщена оцінка m. Для
вибірки з нормальної генеральної сукупності ця оцінка також і ефективна.
Відзначимо ще раз, що при встановленні властивостей оцінок істотним
є вид закону розподілу досліджуваної генеральної сукупності. Зокрема, для
рівномірного розподілу ефективною оцінкою m служить інша статистика.
Оцінка медіани Me. Оцінка медіани може бути отримана за допомогою
варіаційного ряду вибірки:
X  N 1  , если N нечетное ;
  

€
M e    2 
 1 x  x  если, N четное .
  /N  2  /N 2 1 
2
(2.20)

Приклад 2.4. Для вибірки прикладу 2.1 знайти вибіркову медіану Me.
€
Так як в даному випадку N = 7, то M  x  4  5.
e

€
Для симетричних розподілів M e може служити оцінкою
математичного очікування m – оцінкою заможною, незміщеною, але
неефективною. У випадку нормальної сукупності при досить великих
вибірках показник ефективності оцінювання m за допомогою вибіркової
€
медіани M буде близький до e €  . 0 637
e
M e
44