Page 42 - 157

N N 1 2
l m X 1 , m X 2 , 2 1 , 2 2 ,   N ln 2  2 ln 2 1  2 ln 2 2  2 ln 1   
X
X
X
X

1 N  x  m X  2  x  m X   x i 2  m X   x  m X  2 


i 2
i 1
i 1
   1   2  1   2    2   .

2
2 1   i 1   X    X      X    X  





 1 1 2 2 
Оцінки максимальної правдоподібності можна знайти
диференціюванням функції правдоподібності (2.10) по черзі по всіх п'ятьох
змінних, вирішуючи потім отриману систему рівнянь. Неважко переконатися,
що оцінки математичних чекань m , m , і дисперсій  2 , 2 аналогічні
X
1 X 2 X 1 X 2
одномірному варіанту (див. (2.7) і (2.8)), а вибіркова оцінка для коефіцієнта
кореляції ρ має вид
N
 x  x 1 x i 2  x 2 
i 1
€ 
 r  i 1 . (2.11)
1
 N 2 N 2  2
  x  x 1   x i 2  x 2  
i 1
i   1 i 1 
Вкажемо, що оцінкою максимальної правдоподібності для коваріації
випадкових величин Х 1 і X 2 є
1 N
 € 11 X 1 , X 2   x i 1  x 1 x i 2  x 2  .
N i 1
Відзначимо на закінчення, що ідея методу максимальної
правдоподібності виявилася дуже плідною не тільки при оцінюванні
параметрів, але й в інших статистичних задачах (перевірка гіпотез,
планування і аналіз експериментів).

2.3. Оцінювання найважливіших характеристик випадкових величин

Емпіричні функції розподілу. Статистичним (емпіричним) аналогом
інтегральної функції розподілу є накопичена частота (накопичена відносна
частота), обумовлена співвідношенням
  x
  x N 1
€
F N   x N   , (2.12)
N N
i 1
де   x – число елементів у вибірці обсягу N, менших поточного
N
€
значення х. Функція F N  x характеризує ступінь вірогідності події X  в
x
€
даній вибірці. При цьому F N  x  F  x , коли N   .
€
Східчаста крива, що відповідає функції F N  x , називається діаграмою
(полігоном) накопичених частот. Вона будується в такий спосіб:
1. Результати спостережень х 1, х 2,…, х N впорядковують шляхом
розміщення їх у зростаючому порядку. Таку впорядковану вибірку х min = х (1),
х (2),…,х max = x (N), де x  i  x  1i  , називають варіаційним рядом.

38